Si su objetivo es únicamente para transferir tu correo electrónico, tu mejor opción sería crear una cuenta de gmail ficticia con IMAP y añadirla a tbird como una cuenta separada (para que no vaya a la bandeja de entrada general). Una vez hecho esto, en tbird copia todas las carpetas que quieras transferir a la cuenta ficticia y espera a que se sincronice con el servidor IMAP de gmail. Por último, añade la cuenta ficticia de gmail al cliente de correo electrónico que elijas en tu teléfono y espera a que se complete la sincronización IMAP.
Si quieres seguir recibiendo el correo electrónico en tu teléfono de todas estas cuentas, puedes añadirlas como quieras al cliente de correo electrónico que elijas. Personalmente recomiendo K9 para la gestión de múltiples cuentas de correo electrónico; tiene una bandeja de entrada unificada similar a la bandeja de entrada general de tbird y es muy útil.