¿Hay alguna forma de ordenar las aplicaciones por popularidad (número de "descargas") en Google Play Store, o de otra forma?

No hay, y hay varias razones por las que esta lista sería mala para los usuarios de Android:-

1. Cada nueva aplicación comienza con cero descargas. Centrarse sólo en el número de descargas mantendría a las aplicaciones antiguas en la cima de la lista, incluso si han dejado de actualizarse, mientras que haría mucho más difícil el despegue de las nuevas aplicaciones. Incluso entre aplicaciones tan populares como las demás, la más antigua siempre estaría más arriba en la lista.

2. Si un millón de personas han descargado una aplicación pero la han desinstalado enseguida, eso significa que es menos que sea bueno, no más probable. Utilizar sólo el número de descargas le daría una información errónea.

3. Las aplicaciones gratuitas consiguen más descargas que las de pago, porque hay menos riesgo: si no hace lo que quieres, o no funciona, o simplemente no te gusta, puedes desinstalarla de nuevo. Ya existe un sentimiento generalizado en la industria de que sólo las aplicaciones gratuitas pueden sobrevivir en el mercado, por esta razón. Esto es lo que ha llevado al crecimiento de las aplicaciones con anuncios (y sin opción de pagar para eliminarlos), y a los juegos basados en microtransacciones. Hacer una lista basada sólo en las descargas reduciría aún más las ventas de las aplicaciones de pago, lo que llevaría a la industria a crear más juegos y aplicaciones basados en microtransacciones.

4. Google Play ya tiene un gran problema con las descargas, valoraciones y reseñas falsas. Los desarrolladores sin escrúpulos pagan (digamos) un dólar por una descarga con una calificación de cinco estrellas. La descarga puede ser realizada por un usuario en un esquema de afiliación (por lo que recibe un pago, o alguna otra recompensa, por descargar la app) o utilizando dispositivos con malware. Es una carrera de armamentos entre Google que encuentra estas estafas y las agencias sin escrúpulos que las realizan. El hecho de que Google mantenga en secreto el método exacto que utiliza para decidir qué aplicaciones mostrar es su principal herramienta para hacer que el sistema sea difícil de engañar. Tener una lista basada únicamente en las descargas haría que las descargas falsas fueran más eficaces, lo que a su vez haría que la lista fuera aún menos útil, y aumentaría el valor para los hackers de los dispositivos Android y las cuentas de Google comprometidas.

Parece que ya te has dado cuenta un poco de estas diferencias: en una parte de tu pregunta, preguntas por el "número de descargas", y luego por "qué aplicaciones la gente están descargando más" (es decir, recientemente, no el número total de descargas de la historia), y más tarde se quiere saber "qué aplicaciones son las más utilizadas". Todas estas son cantidades diferentes.

Para llegar a la respuesta correcta a todas tus preguntas, necesitas un número que se base en el número de descargas a lo largo del tiempo El sistema de valoración de la aplicación debe tener más en cuenta la popularidad más reciente, junto con la "tasa de rebote" (cuántos usuarios desinstalan la aplicación de inmediato o después de un solo uso), y las valoraciones de los usuarios, teniendo en cuenta también la diferencia estadística entre las aplicaciones gratuitas y las de pago. Además, hay que desalentar a los que juegan con el sistema, no dando demasiada importancia a ningún parámetro.

Esto es exactamente lo que ya hace Google Play.

Esta respuesta hace un poco de trampa, al sugerir un sitio de la competencia para las descargas. Yo utilizo Appbrain AppMarket, porque sus recomendaciones son más amplias y se recogen en una variedad de dimensiones: Hot Today, Hot This Week, All-Time Popular, Highest Rated, Latest, Popular by Country, Demographics (Men, Women, Age (young, 20s, 30s, and older)). Se trata de más datos de los que transporta o informa Google Play Store.