¿Cómo puedo obtener notificaciones push para recibir correos electrónicos en sub-carpetas?

No puedes, el cliente de Gmail para Android solo sincroniza la carpeta de Bandeja de entrada. Las demás carpetas solo se sincronizan cuando entras en cada una.

Si no me equivoco, el cliente de correo K9 tiene la capacidad de sincronizar más de una carpeta.

EDICIÓN para agregar nueva información proporcionada por "Mr. Buster":

La versión actual del cliente de Gmail para teléfonos Android realmente tiene esta opción.

Para configurar el cliente de Gmail para sincronizar más de una carpeta, debes ir a: Configuración de Gmail > Configuración de la cuenta > Sincronizar bandejas de entrada y etiquetas

Tengo un Samsung Galaxy S2 y también tengo una aplicación llamada "Email". Esta estaba en el teléfono cuando lo compré, y también puedes acceder a Gmail a través de esta aplicación, así como a la aplicación de Gmail.

Tal vez esta aplicación tenga la función que estás buscando.