La notificación " Mantenga la aplicación abierta para tomar lo mejor y la velocidad de carga " es más probable que lo muestre la aplicación, ya que hay algunos problemas conocidos cuando las aplicaciones se ejecutan en segundo plano que podrían hacer que la descarga se detenga de modo que la aplicación tenga que reanudarla (o incluso reiniciarla si el servidor no admite la reanudación) lo que, por supuesto, hace que la descarga sea más lenta.
La razón principal del diferente comportamiento entre la ejecución en primer plano en comparación con la ejecución en segundo plano es la optimización de la batería aplicada por Android.
Como Android es de código abierto, los fabricantes de teléfonos tienen la posibilidad de aplicar modificaciones a las partes de Android que Google no cubre en su certificación. Hace algunos años los fabricantes de teléfonos han comenzado a implementar mecanismos adicionales de "ahorro de batería" para reducir el uso de la CPU de las aplicaciones en segundo plano (por lo que recuerdo Huawei fue uno de los primeros, los demás le siguieron). El término "optimización de la batería" es una descripción más clara de "matar las aplicaciones cuando están en segundo plano sin importar si el usuario quiere que se ejecuten o no".
Por supuesto, desde el punto de vista del usuario, una aplicación que se detiene sin más no funciona correctamente, por lo que los desarrolladores de aplicaciones han tratado de encontrar soluciones a este problema. Pero como cada fabricante implementa la eliminación de aplicaciones en segundo plano de una manera diferente, el desarrollo de una aplicación que se ejecuta en segundo plano puede ser bastante complicado dependiendo del teléfono utilizado. Un muy buen resumen de todo el problema de la eliminación de aplicaciones se puede encontrar en ¡No maten mi aplicación! . Allí, un desarrollador de aplicaciones experimentado ha recopilado información sobre qué fabricante y qué versiones de Android afectan a las aplicaciones en segundo plano de qué manera y cómo lidiar con esta situación.
Así que como conclusión: La notificación mostrada es en mi interpretación sólo una sugerencia del desarrollador de la aplicación para evitar problemas. Una aplicación que se ejecuta en primer plano no suele verse afectada por esas "optimizaciones de la batería" y, por tanto, puede descargar el archivo de forma normal.