¿Compartir como archivo en el sistema de archivos?

Sí, ¡esto es definitivamente posible!

Mi herramienta recomendada para lograr esto es Solid Explorer File Manager by NeatBytes.

Además de ser un gran administrador de archivos, también crea un objetivo de compartir llamado "Guardar en..." para guardar cualquier contenido como un archivo en tu almacenamiento. Personalmente lo he usado para este propósito cientos de veces, y funciona bastante bien.

Otra herramienta que puede interesarte es el maravilloso ShareListener by Red Apps LTD. Es una herramienta simple sin interfaz de usuario propia que es:

Una aplicación simple que se registra como un navegador. Cuando se abre, el enlace se comparte y puede ser abierto con cualquier aplicación que escuche la intención de compartir.

Útil para aplicaciones que no tienen una funcionalidad de compartir pero permiten a los usuarios hacer clic en enlaces.

Fuente: descripción de la tienda Google Play.

Dado que no necesita una interfaz de usuario primaria propia, así es como se ve para el usuario:

Fuente: captura de pantalla de la tienda Google Play.

La magia de ShareListener es que cuando intentas compartir un enlace. Muchas aplicaciones solo te permitirán abrir un navegador. ¡ShareListener te permitirá compartir enlaces con aplicaciones no navegador, incluido Solid Explorer! Cuando se utiliza en conjunto con el objetivo de compartir de Solid Explorer, puedes guardar rápidamente cualquier enlace en el almacenamiento en lugar de abrirlo en un navegador.

Hay al menos dos aplicaciones/proveedores de intercambio de archivos de los que tengo conocimiento.

El primero y menos relevante de forma universal está disponible en teléfonos Xiaomi más nuevos; es la aplicación File Manager (o una relacionada con ella); en las opciones "Compartir...", aparece como una carpeta amarillenta, con la leyenda "Copiar a". Al elegirlo, te permite seleccionar entre el almacenamiento interno, (posiblemente) cualquier tarjeta SD y algunas opciones remotas que no tienen relevancia para esta pregunta. Después de haber navegado hasta una carpeta relevante, presiona el botón Pegar disponible en la parte inferior de la pantalla.

La opción más relevante de forma universal es una aplicación llamada X-plore, de Lonely Cat Games. También es una especie de aplicación de administrador de archivos, que se siente un poco más parecida a Norton Commander que a Windows Explorer con un solo panel. Su icono tiene una llave plateada sobre un fondo gris oscuro y naranja, y la leyenda también es "Copiar a". Luego utilizas la interfaz de árbol de archivos de X-plore para elegir dónde guardar el archivo.

Todo esto se informó basándose en el comportamiento de mi propio teléfono, que actualmente es un MI 9 SE.

Send to SD card es una aplicación muy sencilla que hace exactamente eso. Desafortunadamente, no ha sido actualizada desde 2015.

También encontré Share to File System que no he probado y solo tiene 1k descargas y fue actualizada por última vez en 2018.