Esta sugerencia asume la familiaridad de conectarse al teléfono a través de ADB
Tuve una situación similar en mi teléfono anterior. Pude sacar las cosas importantes del BDA cuando el teléfono estaba en recuperación. En mi caso tuve que montar algunos de los sistemas de archivos para acceder a todo lo que quería recuperar.
No estoy seguro de si depende del teléfono si el servicio de ADB está disponible en recuperación. En el mío estaba disponible tanto en modo de recuperación como de descarga.
Si el BDA de tu computadora reconoce y puede conectarse a tu teléfono, deberías poder recuperar y guardar cualquier archivo que necesites.
Si no estás familiarizado con el BDA, este es un buen lugar para empezar: http://www.xda-developers.com/Android/all-in-one-guide-to-adb/
Si necesitas ayuda con esto, házmelo saber, el BDA es un tema completamente distinto, así que mantenlo simple aquí.