Por qué ocurre: Cuando se conecta a un DHCP Si el router está habilitado, su dispositivo (portátil, teléfono inteligente, etc.) obtiene una dirección IP para acceder a Internet a través de ese router/servidor.
Qué IP es esa, estática o dinámica: Es una dirección IP interna dinámica y sólo es válida dentro de esa red.
Esta dirección IP identifica mi smartphone: Sí, pero sólo en esa red y en realidad es la Dirección MAC de su adaptador de red que identifica su dispositivo, no su IP.
Lo mismo ocurre con el router. Puede tener una IP estática o dinámica que le da el ISP. Si es estática entonces sí la identifica, de lo contrario no. Su IP externa (IP del router) es diferente de su IP interna. Todos los dispositivos conectados a ese router tienen la misma dirección IP externa.