Sí, si sólo quieres copiar sobre un .apk, eso es ciertamente posible y no debería requerir Root (excepto para ciertas configuraciones o datos de aplicaciones de usuario que pueden ser guardados en un directorio del sistema). El método más sencillo sería utilizar un navegador de archivos que también incluya una función de gestión de aplicaciones. Éstas suelen ser gratuitas y fáciles de usar (yo uso X-plore ). Con esta aplicación en particular, hay una función que puedes activar que listará todas las aplicaciones instaladas. Simplemente navegue en el panel de visualización opuesto hasta un directorio de almacenamiento interno del dispositivo (por ejemplo, /sdcard/documents/), y luego regrese al administrador de aplicaciones.
Presiona la aplicación que quieras y copia (no se mueve); esto copiará sobre el archivo .apk (y anexará automáticamente la versión al nombre del archivo) y también evitará cualquier error de permiso. Desde allí puedes compartirlo con otro dispositivo o directorio externo/de red.
EDITAR : También puedes intentar buscar en el repositorio de F-Droid para ver si la aplicación puede estar ahí.
EDITO 2 : ¡Oh! Disculpe, no fui lo suficientemente cuidadoso con la lectura de la OP, por alguna razón pensé que se refería a la versión gratuita. En ese caso, le sugeriría que se pusiera en contacto con el desarrollador directamente, ya que aunque encuentre una manera de transferirlo no creo que sea prudente publicar tal método, ya que otros podrían abusar de ese conocimiento. Para esta aplicación en particular, es casi como si no quisieran ser encontrados! He tenido algunas dificultades para rastrearlo (miré el mercado de Play página archivada entonces tuvo un chat con Amazon y se encontró este enlace también). Hay dos e-mails separados para que lo pruebes, ¡buena suerte! Oh, y aquí hay un Twitter cuenta.