Es posible utilizar un Android sin una cuenta de Google, pero no sería una experiencia "divertida".
Necesitarás una tienda de aplicaciones de terceros para descargar aplicaciones (los sitios de descarga de apk también funcionan).
Creo que recibirás actualizaciones del sistema operativo (no estoy seguro).
Y ahora la tercera pregunta: ¿hay problemas? Sí, los habrá. Algunas aplicaciones te piden que inicies sesión en Google - no podrás usar esas aplicaciones. Algunas apps te piden tener Google Play Games - funcionarán, pero no conseguirás logros. Además, elementos como los contactos y las aplicaciones descargadas no se sincronizarán, lo que dificultará la transferencia a un nuevo teléfono (sin Wi-Fi ni Bluetooth).
En general: es posible, pero no sería una buena idea.