¿Cómo puedo explorar mi Android desde mi computadora?

El Android Debug Bridge (adb) puede hacer prácticamente todo lo que desees. Es parte del Android SDK, solo descarga el SDK y habilita la depuración USB en tu teléfono.

Puedes obtener un shell con el comando

adb shell

y puedes obtener archivos del teléfono con

adb pull

Todos los comandos están documentados en el primer enlace que mencioné.

Otra forma de obtener cualquier archivo del teléfono sería utilizar cualquiera de las utilidades de respaldo disponibles y respaldar todo tu teléfono en tu computadora donde puedes examinarlo. Como ya has rooteado tu teléfono, es posible que ya tengas una utilidad de respaldo instalada, o puedes instalar fácilmente una, por ejemplo, Titanium Backup Root o Nandroid. Sin embargo, no tengo experiencia con esas dos, por lo que no puedo decirte más al respecto.

El kernel que utilicé para rootear mi teléfono incluía ClockworkMod Recovery con un programa de respaldo ya integrado, por lo que es posible que también tengas eso disponible.