Me doy cuenta de que es una respuesta bastante básica, y puede que ya lo hayas intentado, pero ¿has probado a desinstalar y volver a instalar esas aplicaciones? Aunque diga "comprueba tu conexión a Internet", a veces los mensajes de error no reflejan el verdadero problema. Las aplicaciones que has mencionado (Gmail, YouTube y Google Play Store) son todas del mismo desarrollador. Si este problema ha comenzado recientemente, podría ser un fallo en una actualización reciente.
O bien, ¿estás seguro de que has iniciado sesión en esas aplicaciones? Todas las aplicaciones que has mencionado dependen de que hayas accedido correctamente a tu cuenta principal de Google, a través de la configuración de cuentas de tu dispositivo. Si has cerrado la sesión por error o has eliminado los datos de acceso de tu cuenta de Google, perderás el acceso a esas cuentas.
Por supuesto, si no lo has hecho ya, prueba a reiniciar tu dispositivo (encenderlo y apagarlo). No es broma, eso realmente arregla muchos problemas. :-)
