Prefacio
Dado que mencionas la aparición de un mensaje emergente que solicita permiso para acceder al Almacenamiento, me siento seguro al asumir que tu versión de Android es 6.0 o superior.
El permiso de Almacenamiento
El permiso de Almacenamiento otorga a una app acceso al contenido de la ruta /storage/emulated/0. Esto significa que una app tendría la capacidad de leer y escribir cualquier archivo bajo dicha ubicación, ya sea creado por ti o por cualquier otra app. Vale la pena mencionar que este permiso no permite manipular una tarjeta SD externa.
En términos sencillos, /sdcard suele contener cualquier archivo que descargues, cualquier foto que tomes, cualquier música que escuches, y así sucesivamente.
Los datos internos
Cualquier app instalada tiene un directorio privado que contiene sus datos. Estos directorios se encuentran en /data/data/, y llevan el nombre del nombre del paquete de cada app. Dado que cada app está aislada por medio de un id de usuario y un id de grupo, cualquier app solo puede acceder a los datos que le pertenecen, y el permiso de Almacenamiento mencionado anteriormente no tiene ningún efecto. Estos directorios solo deberían ser motivo de preocupación para usuarios expertos, ya que son vitales para el funcionamiento de las apps.
Claro está, hay una excepción. Si tu teléfono está rooteado, cualquier app que requiera privilegios de root potencialmente podrá leer y escribir en cualquier ubicación de tu dispositivo. Esto significa que, si tienes root, siempre debes tener un filtro como SuperSU de Chainfire o Superuser de Phh para ser notificado cuando una app solicite dicho privilegio, con el fin de poder negarlo.
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Respuesta corta: No.