La aplicación de Gmail para Android no es lo mismo que el sitio web gmail.com. No tienes que iniciar sesión cuando abras la aplicación, porque ya has iniciado sesión en tu cuenta de Google como parte del procedimiento de configuración inicial, cuando encendiste el teléfono o la tablet por primera vez.
Es normal que la aplicación de Gmail te lleve directamente a la bandeja de entrada. Si quieres ver otras carpetas (como los mensajes enviados), toca donde pone "Bandeja de entrada" en la parte superior de la pantalla: es un menú desplegable.
Los contactos son una aplicación aparte. Busca "Contactos" o "Personas" en la lista de iconos de aplicaciones.