¿es más gastador de batería apagar o dejar el 3g encendido?

Aplicaciones que utilizan notificaciones push como la aplicación oficial de Facebook o los Hangouts de Google+, no es necesario comprobar repetidamente si hay mensajes nuevos. El servidor envía los nuevos mensajes al teléfono cuando llegan, sin tener que pedírselo. Mi respuesta a "¿Cómo funcionan las notificaciones push?" lo describe con más detalle.

Lo que preguntas son aplicaciones que encuesta para las actualizaciones, como los clientes de correo electrónico (cuando se recibe el correo de un servidor que no admite push) o algunos tipos de lectores de RSS. Si la aplicación tiene un ajuste "Sincronizar cada..." con opciones como "Cada 15 minutos", entonces está utilizando el sondeo. Este tipo de sondeo suele consumir más energía que las notificaciones push, pero no por la razón que describes en la pregunta. De hecho, Android ya proporciona una forma de que las aplicaciones sincronicen su sondeo para que el teléfono sólo tenga que despertarse una vez. Todas las aplicaciones que están esperando una alarma realizarán su actualización a la vez, para reducir el uso de energía.

Conectarse a la 3G después de que el usuario la haya apagado por completo consume aún más energía que despertarla desde el estado de reposo, por lo que apagarla y encenderla a mano repetidamente varias veces por hora consumirá casi con toda seguridad más energía que la que hace Android automáticamente. La excepción a esto sería si tienes una aplicación que se comporta mal y que realmente está buscando una actualización cada pocos segundos, pero desde que Android facilita a los autores de aplicaciones el uso de las notificaciones push o el sondeo de una manera eficiente, este tipo de error es muy raro.