Los modos vertical y horizontal utilizan imágenes de fondo diferentes, pero cuando cambia la orientación, el fondo se estira y no cambia como se esperaba.

Tras mucho buscar en Google y combinar resultados de distintos lugares, he encontrado una respuesta que me funciona.

En primer lugar, si el archivo AndroidManifest.xml contiene

android:configChanges="orientation"

Entonces significa que la configuración de tu actividad no se refrescará cuando cambie la orientación, y se te da la oportunidad de manejarlo manualmente vía onLayoutChange, lo que yo elegí hacer de la siguiente manera:

// Use a layout change listener to re-apply the background image if
// orientation changes.

   fScreenView.addOnLayoutChangeListener(new View.OnLayoutChangeListener()
   {
        @Override
        public void onLayoutChange(View v, int left, int top, int right, int bottom, int oldLeft,
                                   int oldTop, int oldRight, int oldBottom) {
            int orientation = getResources().getConfiguration().orientation;
            if(orientation == Configuration.ORIENTATION_LANDSCAPE) {
                fScreenView.setBackgroundResource (R.drawable.sab_logo_text_2);
            } else {
                fScreenView.setBackgroundResource (R.drawable.sab_logo_text_1);
            }
        }
    });

Si eso no te convence, siempre puedes dejar que Android lo haga por ti, matando y reiniciando tu actividad en el diseño correcto (en mi caso, la orientación correcta) simplemente eliminando

android:configChanges="orientation"

del archivo de manifiesto. En mi caso, el valor por defecto era

android:configChanges="orientation|keyboardHidden|screenSize"

y debe cambiarse por

android:configChanges="keyboardHidden|screenSize"

Tras lo cual, la actividad se cancelará y se reiniciará en la disposición correcta. En mi aplicación, el método en código resultó ser más rápido, así que lo manejé en código.