Bien, el GPS ha vuelto a funcionar. Dejé que el teléfono se quedara sin batería, luego puse un cargador y dejé que se mostrara el logo de sony hasta que la carga llegara al 80% (lo dejé durante 20-30 minutos cargando). Entonces quité el cargador y reinicié el dispositivo (mantuve pulsada la tecla de encendido y la de subir el volumen durante unos segundos). El dispositivo se apagará y luego se reiniciará normalmente. Google te preguntará si quieres permitir que Google recoja datos de localización anónimos. Pulsa permitir y comprueba el GPS abriendo la aplicación de mapas de Google, ya funciona :-)
PD: No sé qué ha funcionado aquí (probablemente el paso de hard reset), pero pongo todos los pasos por si acaso.