La aplicación Tinder no funcionará sin los servicios de Google Play

No uso Tinder, pero intento responder a sus preguntas basándome en la información proporcionada.

¿Cuál es la razón de que esto ocurra?

Parece que no tienes instalados los servicios de Google Play. Descárgalo e instálalo desde Google Play .

¿Por qué necesitaría Tinder una cuenta de Gmail activa en el teléfono?

Como se menciona en el comentario de Dan Hulme , "Necesitar los servicios de Google Play instalados no es lo mismo que necesitar una cuenta de Gmail, ni siquiera una cuenta de Google". lo cual es parcialmente cierto en lo que respecta a la cuenta de Google (lea la siguiente sección).

En otras palabras, ¿qué funcionalidad de Tinder podría romperse?

Para Tinder - funcionalidad específica, posiblemente nada. Sin embargo, como ya se ha dicho en la información actualizada,

Failed to Enable Push Notifications. Your Google account credentials are invalid.

no recibirás ninguna notificación de Tinder (a través de Google Cloud Messaging). Si no te importa, entonces puedes ignorarlo. Sin embargo, si quieres tenerlo, entonces tienes que configurar una cuenta de Google. Desde Documentación de Google Cloud Messaging ,

"Utiliza una conexión existente para los servicios de Google. Para los dispositivos anteriores a la versión 3.0, esto requiere que los usuarios configuren su cuenta de Google en sus dispositivos móviles . Una cuenta de Google no es un requisito en los dispositivos que ejecutan Android 4.0.4 o superior". _{(Enfatizó el mío)}

¿Podría esto explicar por qué no tengo cerillas?

Como se explica en su auto-respuesta, no, el sistema de casamenteros no tiene nada que ver con los servicios de Google Play y Google Cloud Messaging.

Adición para los dispositivos que no tienen acceso a los servicios de Google (cuentas de Google, aplicaciones de Google Play y servicios de Google Play) pueden intentar una solución para descargar de Amazon App Store (cortesía de la respuesta de Hugo) que parece ser independiente de los servicios de Google.