El correo push no debería utilizar la conexión a Internet mientras está inactivo, pero tiene que mantener una conexión abierta con el servidor. Por eso el correo push necesita la conexión a Internet.
La diferencia entre el correo push y el polling es que cuando se utiliza el correo push, el cliente abre una conexión persistente con el servidor. Después, la conexión queda inactiva. Cuando el servidor de correo recibe un nuevo mensaje, lo notifica al cliente y éste decide si lo descarga o no. Cuando se utiliza el correo "pull" (polling), el cliente tiene que abrir periódicamente una conexión con el servidor de correo y comprobar si hay nuevos mensajes.
La única razón por la que su conexión a Internet se utilizaría mientras está inactiva es si la conexión con el servidor se rompe y necesita ser reconectada.
Ver Correo electrónico push - Wikipedia para obtener información más detallada.