Estoy usando Android 6.0.1, así que esto puede no funcionar para algunos. Lo he utilizado para WhatsApp, ver el comentario a continuación.
Vaya a Ajustes -> Notificaciones -> AVANZADO (en la parte superior derecha) -> (Elija la aplicación que desee) -> (pulse el pequeño icono de información en la parte superior derecha) -> Notificaciones -> Más ajustes -> Notificación emergente -> Mostrar siempre la ventana emergente
(véase la imagen de abajo). He comprobado que esta configuración es la que marca la diferencia, ya que la configuración Sólo cuando la pantalla está "encendida" no mostraba las notificaciones en la pantalla bloqueada. Pero se trata de un ajuste de WhatsApp, ya que también pude acceder a él desde WhatsApp.
No he podido encontrar una configuración de Android para hacer esto (ni por aplicación ni como configuración global), así que me pregunto si depende de cada aplicación tener una configuración como esta. Esto hace que este post sea en parte una respuesta y en parte una pregunta.
Nota: En Android 6, la configuración de los sonidos está separada de las notificaciones.