¿Por qué tengo dos notificaciones cuando recibo correos electrónicos de gmail?

Está ejecutando dos aplicaciones de correo electrónico.

De tu captura de pantalla la que tiene la gran "N" es la Gmail appliction la otra es de la aplicación de correo electrónico de HTC, llamada email.

Puede eliminar su cuenta de cualquiera de los dos, o desactivar toda la aplicación si le conviene.

A eliminar la cuenta del correo electrónico del HTC.

1. Pulse el botón "Menú de aplicaciones" en la parte inferior de la pantalla de su dispositivo HTC.
2. Desplácese hasta el icono de "Correo electrónico", luego tóquelo una vez para iniciar el programa. Si la aplicación se abre en la bandeja de entrada de una de sus cuentas, pulse el botón "Atrás" en la parte inferior del teléfono para volver al menú "Cuentas".
3. Toca y mantén el dedo en la cuenta que deseas borrar hasta que se abra una ventana emergente en la pantalla.
4. Toca la opción "Eliminar la cuenta".
5. Toca el botón "OK" para eliminar la cuenta.

Alternativamente (ya que esto no parece funcionar en este dispositivo en particular):

1. Ir a Ajustes
2. Haga clic en Aplicaciones
3. Haga clic en Mail
4. Haga clic en Clear Data

Como otra alternativa si la aplicación de correo es "mail" en vez de "email" hay una remove account en los ajustes.

Para eliminar una cuenta de Google

Ve a Settings > Accounts and sync > Your Google Account Name

Puedes desmarcar Gmail en la configuración de sincronización o hacer clic en el botón Remove Account para eliminar completamente su cuenta de Google (lo cual puede que no quiera hacer por razones obvias).