No se pueden cargar archivos arbitrarios con Chrome

Como confirmado por OP esta aplicación resolvió el problema App Picker Classic . De la descripción de la aplicación

Si tienes opciones de aplicaciones que están actualmente ocultas -tal vez elegiste "Siempre" por accidente una vez, pero te gustaría poder restablecer la aplicación y elegir cada vez-, entonces restablécelas borrando los valores predeterminados en el administrador de aplicaciones de tu teléfono/tablet.

Una vez que se borra el valores predeterminados en los ajustes de la aplicación, e intente cargar esta aplicación aparecerá en las opciones (además de las 4 opciones: Cámara, Videocámara, Grabador de sonido y Galería). Usando esta aplicación puedes seleccionar la aplicación del explorador de archivos en tu dispositivo para seleccionar el archivo que deseas subir

Además, esta aplicación permite trabajar con algunos intentos de aplicación y resuelve URLs comunes.

Nota: Solución a continuación no lo hizo pero lo retengo ya que me funcionó, y puede ayudar a alguien más también

Es posible mediante Almacenamiento local Aplicación que no ofrece una interfaz de usuario (aunque tiene) pero se integra con el sistema Android para elegir todo archivos desde el dispositivo y en la SD externa.

Probado en el Samsung Note 2 con ROM personalizada 4.4.2 usando Chrome 53.0.2785.124 en el modo de escritorio (el más reciente en Play Store)

El almacenamiento local utiliza el nuevo marco de acceso al almacenamiento para permitir que otras aplicaciones leer o escribir cualquier archivo en su almacenamiento primario y leer desde dispositivos de almacenamiento externos secundarios (como tarjetas SD). En los dispositivos Android 5.0+, también puedes seleccionar directorios enteros y renombrar archivos.

La documentación en Github de la aplicación dice que es compatible con la API 19 en adelante

Ejemplo

Subir un .pdf a PDF a doc sitio . Los pasos se muestran secuencialmente en el panel de capturas de pantalla

• Haga clic en cargar

• Elija documentos opción

• Desde el panel de selección que ofrece la App elige la ubicación del archivo a subir (SD externa en mi caso)

• Seleccionado pdf archivo que se está cargando

• pdf archivo cargado y convertido en doc

Yo estaba en atascado con el mismo problema ..

usando la aplicación FS File explorer/selector me funcionó..

puede probar esto por favor : https://play.google.com/store/apps/details?id=com.ioapps.fsexplorer

Instalar AndroidZip o Explorador de archivos ES y podrás subir archivos desde cualquier navegador.