Montar dispositivo Android directamente en el Finder de Mac OS X

Intenta usar sshfs.

Consulta la respuesta a esta pregunta: https://askubuntu.com/questions/893090/how-do-i-mount-my-androids-filesystem-over-the-network-with-sshfs

ADB (android debug bridge)

El método más rápido y oficialmente compatible para transferir archivos hacia/desde un dispositivo Android es a través de adb (Android Debug Bridge), el cual se instalará automáticamente si instalas Android Studio. Una vez que actives las Opciones de Desarrollador en tu teléfono y habilites la Depuración de Android en los ajustes, y te conectes a tu dispositivo Android a través de adb, en Android Studio puedes 'montar' el dispositivo mediante Ver > Windows de Herramientas > Explorador de Archivos del Dispositivo.

Para más detalles, visita https://developer.android.com/studio/debug/device-file-explorer

Montar un dispositivo Android en Finder a través de ssh

No hay formas predeterminadas de hacerlo, pero como se menciona en otras respuestas, puedes lograrlo iniciando un servidor ssh en Android y luego montando el sistema de archivos de Android en tu computadora con algo como sshfs.

Los pasos a continuación son aproximados y podrían necesitar ajustes para tu caso específico.

1. En tu Android, instala https://play.google.com/store/apps/details?id=com.termux y luego inicia sshd como se describe en https://wiki.termux.com/wiki/Remote_Access#Using_the_SSH_server. Necesitarás configurar la autenticación ya sea con contraseña o basada en clave rsa. Como alternativa, también puedes ver otros servidores SSH para Android.
2. En tu computadora, instala sshfs — para distribuciones tipo debial: apt install sshfs; para Mac brew install sshfs.
3. Apunta la dirección IP de tu dispositivo Android, el nombre de usuario de termux (escribe whoami para verlo) y el puerto del servidor ssh (en la mayoría de los Androids, la IP se puede ver viendo los detalles de la conexión wifi en Ajustes > Wifi). También establece una contraseña de usuario de termux escribiendo passwd.

4. Monta el sistema de archivos de Android en tu computadora con un comando similar a (reemplaza con el usuario y IP correctos del servidor ssh):

   sshfs -p 8022 COLOCA_NOMBRE_USUARIO_DE_TERMUX_AQUÍ@192.168.1.123:/ ~/una_carpeta_existente -oauto_cache,reconnect,defer_permissions,noappledouble,negative_vncache,volname=myandroid

(las banderas son específicas para macOS, para Linux necesitarás ajustarlas). Para Mac también necesitarás instalar osxfuse.

Estaba buscando lograr lo mismo: montar alguna parte del sistema de archivos de mi S4 en mi Mac, y estaba mirando la variedad de servidores SMB disponibles para Android. El que he estado usando y que cumple con la mayoría de los requisitos de "funciona simplemente" es SAMBADroid, el cual ejecuta un servidor SMB en mi LAN local a través de WiFi. La versión gratuita comparte la tarjeta SD externa por defecto, pero estaré revisando las capacidades de la versión de pago para ver si hay más opciones de exportación. La única crítica que tendría es que es un poco lento, pero desde el punto de vista de la simplicidad es el mejor de todos los que he probado.

En Android 6, lo siguiente funcionó para mí:

Habilitar las opciones de desarrollador (ajustes > acerca del teléfono > seguir tocando en 'número de compilación')

Ajustes > Opciones de desarrollador > Red > Seleccionar Configuración USB > MTP (si ya está en MTP, cambie a otra cosa y luego cambie de nuevo a MTP).

LG G4 Verizon, ejecutando Android 5.1: tenía el teléfono un año, y aún no podía conectarme a una Mac de 2008 que ejecutaba Lion. Los técnicos de Verizon, LG y Apple han fallado.
Finalmente "solucioné" el problema consiguiendo un lector de tarjetas USB y montando la tarjeta SD en la mac. Para transferencias rápidas, obtuve una unidad USB convertible Verbatum. Pero echo de menos la comodidad que tenía con mi Droid2. Funcionaba.