Ok. Al final he recuperado mi SMS. Pero si alguien está buscando una respuesta, aquí está mi solución que, espero, ayudará.
Supongo que el problema viene de la versión de Android. Así que, básicamente, hice lo siguiente:
1 . Grapa tu viejo teléfono bajo Android 4.0.4 (puedes usar el teléfono de otra persona, sólo asegúrate de hacer una copia de seguridad de sus mensajes antes de hacer nada. Para estar (casi) seguro de que ESTA copia de seguridad funcionará, recomiendo "sms backup +" o "sms backup and restore")
2. Ahora, instale Helium y haga una copia de seguridad de sus SMS con él. Se creará un archivo de copia de seguridad. (debe estar dentro de una carpeta llamada "carbón" y debe llamarse "com.Android.providers.telephony")
3. A continuación, coge tu antigua copia de seguridad (con el mismo nombre y en la misma carpeta de tu nuevo teléfono) y sustituye por ella la que acabas de crear en el paso 2.
4. Haz clic en restaurar, y todos tus sms deberían estar de vuelta (si has cogido el teléfono de otra persona, deberías borrar todos sus sms, de lo contrario los tuyos y los suyos se mezclarán. De nuevo, asegúrate de hacer una copia de seguridad de todo antes)
5. Luego, haz una copia de seguridad de estos sms recién restaurados con la aplicación descargada en el paso 1. Recomiendo utilizar la copia de seguridad de Gmail, por lo que no tiene que viajar su archivo de copia de seguridad de un teléfono a otro con su PC, etc... pero eso es su elección.
6. Por último, instala la misma aplicación del paso 1 en tu nuevo dispositivo, restaura tus sms con el archivo de copia de seguridad que acabas de crear y ¡ya está!
Espero que esta pequeña explicación sea lo suficientemente clara, es mucho más sencilla de lo que parece (porque he intentado cubrir la mayoría de los casos). Si te encuentras con problemas, deja un comentario abajo, y veré si soy capaz de responder (no prometo nada ¿vale? :p).
Gracias
PD:De nuevo, espero que mi inglés no sea demasiado malo, pero he hecho lo que he podido, si ves errores, dímelos en la sección de comentarios :)
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No creo que las copias de seguridad de las aplicaciones del sistema no sean compatibles entre las principales versiones de Android. No estoy seguro de lo que puede hacer al respecto en esta etapa.
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Instalaré Helium ahora para intentar una copia de seguridad, con el fin de determinar su formato. Os informaré si encuentro algo útil.
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Parece que el respaldo de Helium es el mismo que el de adb... @Izzy, esto es más de su campo.
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Gracias chicos por vuestras respuestas, espero que encontremos un "arreglo" pronto :) (si es que podemos)