¿Ejecutar comando de shell descargado sin ser root?

Android, al igual que Linux, impide que cualquier usuario que no sea root cambie los bits de permiso de cualquier archivo que no sea propiedad de dicho usuario. Dicho esto, chmod es ineficaz a menos que tengas privilegios de root.

Por cierto, incluso si tuvieras dichos privilegios, no podrías cambiar los permisos mientras la ruta de destino sea /storage/sdcard0 o /storage/emulated/0. Esto depende de una política de seguridad que se implementa en forma del sistema de archivos FUSE, y se puede evitar moviéndose a /data/media/0 o /data/media/emulated/0, y cambiando los permisos del archivo desde esta posición. Ten en cuenta que este procedimiento te permitirá ejecutar un script solo si lo lanzas desde una de las ubicaciones mencionadas anteriormente.

Por último, cabe mencionar que la versión de Android de chmod no soporta la edición simbólica de las banderas (+rwx y así sucesivamente), por lo que te verás obligado a editarlos a través de sus valores octales correspondientes. También necesitarás privilegios de root para poder acceder a /data/media. Intentar cd a dicho directorio usando privilegios de usuario resulta en un error de Permiso denegado.

• primero, para hacer que el archivo sea ejecutable, debes hacer chmod 775 wget (y no 665)
• pero solo puedes cambiar los modos del archivo si eres su propietario (o root). En tu caso, el propietario es root (y el grupo sdcard_rw, como indica tu ls -l), por lo que solo root puede cambiar los permisos. Como no eres root (puedes verificarlo con el comando id, pero como dices que no tienes un dispositivo rooteado, no puedes usar su para convertirte en root), no puedes cambiar sus permisos.
• Además, los modos solo se pueden cambiar si el sistema de archivos que contiene el archivo admite permisos UN*X. Tu /storage/sdcard0/Download probablemente sea FAT, que no lo admite (puedes verificar el tipo de sistema de archivos con cat /proc/mounts)

Dicho todo esto, si el archivo fuera un script de shell, podrías ejecutarlo incluso con el modo x faltante con sh /storage/sdcard0/Download/script.

Pero si es un binario ELF (como es el caso con tu wget), probablemente estés fuera de suerte en Android (en un sistema de GNU/Linux de escritorio, puedes ejecutar binarios ELF indirectamente a través del enlazador dinámico /lib64/ld-linux-x86-64.so.2 /mnt/Download/wget, pero no creo que Android permita lo mismo con su /system/bin/linker - aunque podría estar equivocado en ese aspecto)