He seguido la respuesta de @eldarerathis y he creado una guía paso a paso sobre cómo actualizar webview en un emulador Android 5.0. Probablemente funcione en Android 5.1 a Android 6.0 también. Espero que ayude a cualquier persona que desee utilizar un webview más reciente en dispositivos Android antiguos.

https://gist.github.com/ppoffice/9ce9790708eeabbec1281467e25139e4

Herramientas

1. emulador (30.3.5) (a través de Android SDK)
2. adb (30.0.5) (a través de Android SDK)
3. apktool (2.5.0) y Java runtime
4. zip (3.0)
5. unzip (6.0)

Asegúrate de tener las variables de entorno JAVA_HOME y ANDROID_HOME configuradas correctamente.

Pasos

1. Crea un nuevo Dispositivo Virtual Android (AVD) utilizando Android Studio o avdmanager. Aquí, creé un dispositivo Android 5.0 con la siguiente imagen del sistema:

   Ruta                                        | Versión | Descripción                                | Ubicación
   system-images;android-21;google_apis;x86_64 | 32      | Imagen del sistema Google APIs Intel x86 Atom_64 | system-images/android-21/google_apis/x86_64/

   El nombre del AVD es

   $ emulator -list-avds
   Pixel_2_API_21

2. Inicia el AVD y haz que su partición del sistema sea escribible:

   $ $ANDROID_HOME/tools/emulator @Pixel_2_API_21 -writable-system

   Y cuando el AVD se inicia, vuelve a montar su partición del sistema usando adb:

   $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb remount

3. Descarga el Android System Webview de la versión deseada de internet. Por ejemplo, puedes usar Android System WebView 88.0.4324.93 (x86 + x86_64) (Android 5.0+) de apkmirror.com. La identificación del paquete es com.google.android.webview, que es diferente al webview del sistema por defecto (com.android.webview). Además, asegúrate de que tu paquete tenga la misma ABI que tu AVD.

4. Extrae el paquete webview usando unzip y empújalo junto con las bibliotecas nativas a la partición del sistema de tu AVD:

   $ unzip 
   $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb shell mkdir /system/app/ChromiumWebview
   $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb push  /system/app/ChromiumWebview/webview.apk
   $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb push  /system/app/ChromiumWebview/

   Después de este paso, deberías tener los siguientes archivos nuevos en tu AVD:

   $ANDROID_HOME/platform-tools/adb shell ls -lR /system/app/ChromiumWebview/lib                                                             
   
   /system/app/ChromiumWebview/lib:
   drwxr-xr-x root     root              2021-01-27 00:36 x86
   drwxr-xr-x root     root              2021-01-27 00:36 x86_64
   
   /system/app/ChromiumWebview/lib/x86:
   -rw-r--r-- root     root        43360 1979-12-31 00:00 libchromium_android_linker.so
   -rw-r--r-- root     root         3680 1979-12-31 00:00 libcrashpad_handler_trampoline.so
   -rw-r--r-- root     root     78167008 1979-12-31 00:00 libwebviewchromium.so
   
   /system/app/ChromiumWebview/lib/x86_64:
   -rw-r--r-- root     root        44896 1979-12-31 00:00 libchromium_android_linker.so
   -rw-r--r-- root     root         5104 1979-12-31 00:00 libcrashpad_handler_trampoline.so
   -rw-r--r-- root     root     78545528 1979-12-31 00:00 libwebviewchromium.so

5. Reinicia los servicios de Android para que el Administrador de Paquetes tome nuestro nuevo paquete webview:

   $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb shell stop
   $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb shell start
   $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb shell pm list packages | grep webview
   package:com.android.webview           --> el webview integrado y obsoleto
   package:com.google.android.webview    --> nuestro nuevo webview

6. Verifica si el paquete está registrado con el Administrador de Paquetes. Asegúrate de que codePath, nativeLibraryPath y primaryCpuAbi sean correctos:

   $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb shell cat /data/system/packages.xml | grep com.google.android.webview
   https://android.stackexchange.com/a/139415),
   el nombre del paquete webview por defecto utilizado por el SO Android está codificado en el sistema,
   necesitas modificar el framework de Android para usar el nuevo nombre del paquete.
   Primero, extrae framework-res.apk de tu AVD y descompílalo usando apktool:
   $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb pull /system/framework/framework-res.apk
   $ apktool d framework-res.apk

`* Actualiza el archivo/res/values/strings.xml` para usar tu nuevo nombre del paquete webview del sistema:

    --- res/values/strings.xml   2021-01-27 00:53:05.000000000 -0500
    +++ res/values/strings.xml   2021-01-27 00:54:38.000000000 -0500
    @@ -70,7 +70,7 @@
         ;com.android.settings;

    -    com.android.webview
    +    com.google.android.webview
         0.82
         0.85
         0.16

• Empaqueta de nuevo framework-res.apk usando apktool.

  $ apktool b 

  Puede que haya algunos errores que necesites corregir antes de que el paquete pueda ser empaquetado de nuevo. Por ejemplo, si te encuentras con el siguiente error:

  Error: String types not allowed (at 'APKTOOL_DUMMY_34e' with value '').

  deberías reemplazar con en el archivo /res/values-nodpi-v4/drawables.xml y volver a intentarlo.

• El framework-res.apk empaquetado de nuevo se coloca en /dist. Extrae el archivo resources.arsc de allí y combínalo con el framework-res.apk original:

  $ unzip /dist/framework-res.apk resources.arsc -d .
  $ zip -0  resources.arsc

  El framework-res.apk original que extrajiste de tu AVD ahora está actualizado.

• Después, reemplaza el framework-res.apk en tu AVD con nuestro framework-res.apk actualizado (fusionado) del último paso y reinicia el dispositivo:

  $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb push  /system/framework/framework-res.apk
  $ $ANDROID_HOME/platform-tools/adb reboot

• Finalmente, verifica si el webview se ha cambiado al nuevo: ``

Qué WebView se utiliza depende principalmente del desarrollador de la aplicación.

La larga explicación está disponible en Migrating to WebView in Android 4.4. También hay una explicación decente en AndroidPolice.com - WebView Is Now Unbundled From Android And Free To Auto-Update From Google Play.

Explicación

La versión corta es que desde Android 4.4, el WebView puede actualizarse a través de la Play Store fuera del ciclo de lanzamiento de Android. Sin embargo, la versión antigua integrada se mantiene para soportar aplicaciones más antiguas y no romper la compatibilidad.

El desarrollador de la aplicación debe dirigirse al SDK 19 (Android 4.4) o más reciente, y utilizar WebView.class proporcionado por el SDK estándar. Si el desarrollador hace eso, y el dispositivo que ejecuta la aplicación es 4.4 o más reciente, la versión de APK (Google Play) del WebView debería utilizarse y se actualizará automáticamente con la versión de la Play Store.

Pero si alguna de las condiciones anteriores no se cumple, o el fabricante modificó los archivos principales, o el desarrollador utiliza una librería de soporte, es posible que todavía se utilice la versión más antigua integrada del WebView en su lugar.

Cómo resolverlo

Para que Clémentine resuelva su problema particular, ponerse en contacto con el soporte de la aplicación en cuestión y solicitar que actualicen su aplicación para admitir el WebView basado en Chromium más reciente (configurando su SDK objetivo en 19 o superior) es la forma más fácil de solucionar el problema. Aunque depende del desarrollador de la aplicación, lo cual sabemos que no siempre funciona. (Yo soy uno de esos desarrolladores de aplicaciones. Intentamos, pero no siempre tenemos el tiempo para mantener todas nuestras aplicaciones constantemente actualizadas.)

Continuando con la respuesta anterior. Para android 7 y superior: extrae el archivo framework-res.apk de tu dispositivo, descompílalo y cambia el archivo /res/xml/config_webview_packages.xml, agregando un nuevo proveedor de webview.

Ejemplo config_webview_packages.xml:

        MIIDuzCCAqOgAwIBAgIJANi6DgBQG4ZTMA0GCSqGSIb3DQEBBQUAMHQxCzAJBgNVBAYTAlVTMRMwEQYDVQQIDApDYWxpZm9ybmlhMRYwFAYDVQQHDA1Nb3VudGFpbiBWaWV3MRQwEgYDVQQKDAtHb29nbGU ... 

Sobre la firma. Si webviewprovider.apk tiene la firma del sistema puedes omitir este atributo. Si la firma no es correcta, el proveedor de webview no aparecerá en la lista disponible a través de la configuración de desarrollo del dispositivo. No cambies la firma original de webviewProvider.apk, no podrás instalar actualizaciones.

Coloca framework-res.apk en el dispositivo (necesitas permisos de root).