El "almacenamiento del teléfono" es esencialmente su /data
la partición, el espacio principal de tu teléfono asignado a las aplicaciones.
"Almacenamiento interno" a veces significa lo mismo pero, ya que se están contrastando aquí, probablemente se refiere a la partición interna de la "tarjeta SD". Es probable que ambas estén en el mismo chip flash, solo que configuradas de forma diferente.
Las tarjetas SD (y las "tarjetas") a veces se montan más tarde en el proceso de arranque, por lo que a veces puede confundir a algunos lanzadores y terminar con los accesos directos a las aplicaciones que se eliminan de la pantalla de inicio. También es posible que los servicios no se inicien correctamente. Por lo demás, sin embargo, son más o menos lo mismo. En realidad, sólo es necesario mover las aplicaciones si te quedas sin espacio o si quieres poder borrar una partición sin perder tantos datos.