Como otros han dicho, no se puede eliminar una notificación en curso de la barra de notificaciones. Está ahí para alertar al usuario de que la aplicación se está ejecutando constantemente, y sin ella la aplicación podría ser potencialmente eliminada en cualquier momento por el sistema operativo.
Dicho esto, si está ejecutando Jelly Bean (o más reciente), existe la opción de desactivar todas las notificaciones de una aplicación. La configuración es por aplicación y puede encontrarse en Ajustes > Aplicaciones > (seleccione la aplicación) > desmarque la casilla "Mostrar notificaciones". La única advertencia de este método es que la aplicación ya no mostrará cualquier notificaciones en la barra de notificaciones, pero si eso es aceptable para ti, he encontrado este método para ser una manera fácil de evitar que mi cajón de notificaciones se llene de notificaciones innecesarias.
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Depende de la aplicación, según parece. Tiene en mente alguna en concreto?
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Algunas aplicaciones no tienen la opción de eliminar la notificación en sí. Significa eso que es imposible eliminar la notificación?
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Correcto. ¿Qué aplicación estás utilizando? Algunas aplicaciones lo ponen en la barra de notificaciones para que el SO no mate la aplicación (como Locale).
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Tengo entendido que el hecho de que el sistema operativo mate una aplicación depende de cómo la aplicación maneja los eventos del ciclo de vida de la aplicación. La documentación oficial no indica que importe si la aplicación coloca una notificación.