¿Cómo puedo hacer que el navegador de stock deje de preguntarme qué navegador quiero usar?

No. Android funciona con intents. Abrir un enlace es pedir una intención para abrir una url. Si tienes más de un navegador y no has establecido uno por defecto, Android te preguntará cuál elegir.

Puedo imaginar que ciertos navegadores no sigan esta regla de iniciar un intento y se queden en su propio programa, pero eso es todo lo que el programa decida manejar.

El comportamiento por defecto de Android no tiene ninguna opción para esto. Como has mencionado siempre obtendrás la pregunta en cada inicio de una intención de navegador (que es pedir a Android que abra una url en un navegador). La única manera de detener esto es seleccionar uno y establecerlo como predeterminado.

Por otro lado, una vez que se está en una sesión del navegador, el programador del mismo podría implementar la solicitud de una url determinada para que sea manejada por él mismo, en lugar de iniciar una nueva intención del navegador. Eso superaría tu problema.

Si luego inicias un intento de navegador para ver una url te aparecerá la opción de Android para seleccionar un navegador. Y las siguientes urls se abrirán en el mismo navegador. En otras palabras, realmente depende de la implementación de ese navegador.