¿Dónde se guardan las fotos en Hangouts?

Van a su carpeta de descargas por defecto, normalmente en /sdcard/Download . Tenga en cuenta que no necesariamente se trata de una tarjeta SD física (por ejemplo, en los dispositivos que no tienen una ranura SD es emulada).

Desde un punto de vista práctico, si necesitas acceder a ellas en tu dispositivo, sólo tienes que abrir la aplicación Galería o Fotos. La imagen aparecerá en cualquiera de ellas siempre que no hayas añadido una .nomedia a la carpeta de descargas o algo así.

Además, si abres la imagen en Fotos o en la aplicación Galería AOSP (posiblemente también en otras) podrás discernir su ubicación física abriendo el menú y seleccionando "Detalles".