¿Cómo funciona exactamente el acceso/cuenta de usuario "Root"? ¿Todas las aplicaciones se ejecutan como Root en mi teléfono después de rootear?

Cuando se inicia el teléfono, ¿significa eso que una cuenta de "usuario" (como la que tengo en tengo en Linux/Mac, '/home/myself') se utiliza? ¿Será que '/home/myself' o similar existe en los teléfonos Android?

No. Android se diseñó para un sistema monopuesto, y muchas de las decisiones de diseño se tomaron de forma que /home/myself ya no existe. En Android, las capacidades multiusuario del kernel de Linux se utilizan para mejorar la seguridad, ejecutando cada aplicación como su propio usuario, aislando así los datos de cada aplicación.

Si "Rooteo" un teléfono, ¿se iniciará el teléfono como Root cuando lo encienda? ¿Todas las aplicaciones se ejecutarán ahora como Root? O cuando intenten ejecutarse como Root, ¿tendré que permitirlo?

No, no, sí. En los métodos de rooteo modernos (que son básicamente todos los métodos de rooteo excepto los más antiguos), hay una aplicación llamada "Superusuario" que se utiliza para gestionar las aplicaciones a las que se les permite obtener acceso Root.

Dado que Android es un Linux, me interesa tener acceso a un terminal y algunas utilidades unix (ssh, rsync, etc). No me importa tener que usar un teclado bluetooth y vi (para editar /etc/hosts por por ejemplo) si es necesario. ¿Es esto posible? ¿Puedo tener un terminal con un montón de utilidades unix (sé que busybox está disponible)?

Sí, existe un shell (pero no es el shell bash). Es posible que tengas que instalar el emulador de terminal para acceder a él (algunas ROMs personalizadas lo instalan por defecto) o usarlo como shell remoto usando ADB. Debido a que no utiliza bash, el terminal será ligeramente diferente de lo que estás acostumbrado a ver en las distros regulares de Linux (en particular, no tiene autocompletado) y la mayoría de los comandos de shell que consideras "estándar" no existe o sólo existe en forma extremadamente barebone.

Si usas mucho el terminal, es posible instalar busybox y bash para una experiencia de terminal más familiar; también puedes instalar las utilidades de espacio de usuario de GNU, pero necesitarás un teléfono de gama alta con mucho espacio en disco para ello.

En resumen, lo que quieres es posible; aunque muchas de las herramientas no están instaladas por defecto en las ROMs de los fabricantes. Se necesita un poco de trabajo para instalar todas esas herramientas por ti mismo, la ruta más fácil y rápida es instalar una ROM personalizada que proporciona esas herramientas como CyanogenMod.

Si Android es esencialmente un Linux

Android utiliza el kernel de Linux, pero no es un GNU/Linux y no utiliza los típicos programas del espacio de usuario de GNU. En su lugar, utiliza el espacio de usuario toolbox, que es un espacio de usuario muy minimalista (incluso más pequeño que busybox, toolbox ni siquiera tiene cp, tienes que usar cat en su lugar para copiar archivos). Algunas ROMs personalizadas de Android instalan busybox por defecto.

para hacer una copia de seguridad de mi dispositivo, ¿no debería ser capaz de conectarse a Root it, hacer un completo tar -cvzf / y ellos un scp a alguna parte? ¿Por qué tendría que tener Nandroid y estas soluciones completas blowns?

que es esencialmente lo que hace Nandroid (estrictamente hablando, la copia de seguridad de Nandroid es más como la copia de seguridad con dd en lugar de tar), excepto con una interfaz gráfica de usuario mucho más conveniente. A la mayoría de la gente, incluso a los usuarios avanzados, no les gusta escribir comandos complejos en el pequeño teclado o tener que conectar un teclado externo cada vez que quieren hacer una copia de seguridad (y el 99% del mundo tiene fobia a la Terminal). Es mucho más fácil simplemente iniciar una aplicación y hacer clic en un botón y tener todo eso hecho por ti.