La respuesta a mi pregunta resultó ser bastante trivial (al menos para mi rooteado HTC Incredible). ¡Trivial hasta el punto de que me avergüenzo de haber hecho la pregunta en primer lugar!
Para explorar/manipular el sistema de archivos de mi teléfono, todo lo que tenía que hacer era conectarlo a mi ordenador a través de USB, y elegir "Disk drive" como tipo de conexión.
Entonces el almacenamiento en mi teléfono aparece como dos volúmenes adicionales: uno para /sdcard
y uno para /emmc
que puedo manipular como cualquier otro volumen.
EDITAR
Desafortunadamente, el enfoque, tal y como lo he descrito, sólo da acceso a aquellas áreas del sistema de archivos del teléfono que un usuario puede modificar sin acceso a root.
Este enfoque es lo suficientemente bueno para mis propósitos, pero si quieres dar rienda suelta al sistema de archivos de tu teléfono, y no te importa ir al "lado oscuro" para conseguir estos poderes, mira esto Hilo del Foro XDA .